Уроженец Лестершира и выпускник театральной школы бристольского филиала театра «Олд Вик», Скарборо начал карьеру актера в родном театре – в адаптации «Оливера Твиста», осуществленной Филлидой Ллойд. Из Bristol Old Vic Скарборо вскоре попал прямиком на подмостки Национального театра, где был задействован в более чем двух десятках постановок, среди которых: «Сон в летнюю ночь» Робера Лепажа, «Офицер-вербовщик», «Ветер в ивах» и «Привычка творить искусство» Николаса Хайтнера и знаменитая «социальная» трилогия Ричарда Эйра («Отсутствие войны», «Шепчущие судьи», «Демон мчится»).
Также Эдриану случалось поработать с Майклом Грандаджем («Что видел дворецкий» в шеффилдском Crucible Theatre), Сэмом Мендесом («К зеленым полям» в «Донмаре», шут в «Короле Лире» в Национальном) и Декланом Доннелланом (Иван Иванович в «Мандате» Эрдмана в Национальном). В 2011 году актер получил премию Лоуренса Оливье за лучшую второстепенную роль в постановке пьесы Теренса Рэттигана «После танцев» в Национальном, а в 2013-м номинировался снова – уже за главную роль Йоргана Тесмана в ибсеновской «Гедде Габлер» в «Олд Вике». В 2018 году Скарборо сыграл роль доктора Уиллиса в новой постановке пьесы Алана Беннетта «Безумие Георга III» в театре Nottingham Playhouse.
В 1994 году Скарборо дебютировал в кино ролью дворецкого Фортнама в экранизации «Безумия Георга III», снятой Николасом Хайтнером, и с тех пор постоянно снимается в кино и на ТВ. Среди его самых известных работ на экране: «Зимняя сказка» (In the Bleak Midwinter, 1995) Кеннета Браны, «Любовь – это дьявол» (Love Is the Devil: Study for a Portrait of Francis Bacon, 1998) Джона Мэйбери, «Госфорд-парк» (Gosford Park, 2001) Роберта Олтмена, «Золотая молодежь» (Bright Young Things, 2003) Стивена Фрая, «Вера Дрейк» (Vera Drake, 2004) Майка Ли и «На берегу» (On Chesil Beach, 2017) Доминика Кука, а также сериалы «Психовилль» (Psychoville, 2009-2011), «Гэвин и Стейси» (Gavin & Stacey, 2007), «Крэнфорд» (Cranford, 2007-2009) и «Блант говорит» (Blunt Talk, 2015).
